Question

10．如圖，已知一條直線過點（0，4），且與拋物線y=$\frac{1}{4}$x²交于A，B兩點，其中點A的橫坐標(biāo)是-2．
（1）求這條直線的解析式及點B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上是否存在點C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求得點A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定直線的解析式，從而求得直線與拋物線的交點坐標(biāo)；
（2）如圖1，過點B作BG∥x軸，過點A作AG∥y軸，交點為G，然后分若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²；若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²；若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²三種情況求得m的值，從而確定點C的坐標(biāo)；

解答 解：（1）∵點A是直線與拋物線的交點，且橫坐標(biāo)為-2，
∴y=$\frac{1}{4}$×（-2）²=1，A點的坐標(biāo)為（-2，1），
設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，
將（0，4），（-2，1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{-2k+b=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線y=$\frac{3}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+4}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=16}\end{array}\right.$
∴點B的坐標(biāo)為（8，16）；

（2）如圖，連接AC，BC，
∵由A（-2，1），B（8，16）可求得AB²=325．
設(shè)點C（m，0），同理可得AC²=（m+2）²+1²=m²+4m+5，
BC²=（m-8）²+16²=m²-16m+320，
①若∠BAC=90°，則AB²+AC²=BC²，即325+m²+4m+5=m²-16m+320，
解得：m=-$\frac{1}{2}$；
②若∠ACB=90°，則AB²=AC²+BC²，即325=m²+4m+5+m²-16m+320，
解得：m=0或m=6；
③若∠ABC=90°，則AB²+BC²=AC²，即m²+4m+5=m²-16m+320+325，
解得：m=32；
∴點C的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，0），（0，0），（6，0），（32，0）．

點評 本題是二次函數(shù)的綜合題型．一次函數(shù)的應(yīng)用、待定系數(shù)法、兩點間距離公式、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．