Question

2．已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是射線EC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作等邊△DMN，使△DMN與△ABC在BC邊同側(cè)，連接NF．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，直接寫(xiě)出線段FN與線段EM的數(shù)量關(guān)系；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段EC上（點(diǎn)M與點(diǎn)E，C不重合）時(shí)，在圖2中依題意補(bǔ)全圖形，并判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接DF，直線DM與直線AC相交于點(diǎn)G，若△DNF的面積是△GMC面積的9倍，AB=8，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CM的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先連接ED，EF，DF，根據(jù)D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，得出△DEF是等邊三角形，進(jìn)而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（2）與（1）類(lèi)似，先連接ED，EF，DF，得出△DEF是等邊三角形，進(jìn)而判定△DFN≌△DEM（SAS），即可得出FN=EM；
（3）分兩種情況：①當(dāng)M在線段CE上時(shí)，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，再根據(jù)條件判定△GCM∽△DEM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，再根據(jù)CE=$\frac{1}{2}$BC=4，即可得出CM=$\frac{1}{4}$CE=1；②當(dāng)M在線段EC延長(zhǎng)線上時(shí)，運(yùn)用同樣的方法，判定△GCM∽△DEM，得出$\frac{CM}{EM}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，再根據(jù)CE=4，即可得出CM=$\frac{1}{2}$CE=2．

解答 解：（1）線段FN與線段EM的數(shù)量關(guān)系為：FN=EM．
理由：如圖1，連接ED，EF，DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等邊三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（2）補(bǔ)全圖形，如圖2．結(jié)論FN=EM成立．
證明：連接ED，EF，DF，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，
∵D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，
∴DE=EF=FD，即△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
又∵△DMN是等邊三角形，
∴DN=DM，∠MDN=60°，
∴∠FDN=∠EDM，
在△FDN和△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FD=ED}\\{∠FDN=∠EDM}\\{DN=DM}\end{array}\right.$，
∴△DFN≌△DEM（SAS），
∴FN=EM．

（3）分兩種情況：
①如圖3，當(dāng)M在線段CE上時(shí)，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，
由（2）可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN與△DEM面積相等，
∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，
∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×8=4，
∴CM=$\frac{1}{4}$CE=1；
②如圖4，當(dāng)M在線段EC延長(zhǎng)線上時(shí)，連接DE，EF，則△DEF是等邊三角形，
同理可得△DFN≌△DEM，
∴△DFN與△DEM面積相等，
∵△DNF的面積是△GMC面積的9倍，
∴△DEM的面積是△GMC面積的9倍，
∵CG∥DE，
∴△GCM∽△DEM，
∴$\frac{CM}{EM}$=$\sqrt{\frac{1}{9}}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CM}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴CM=$\frac{1}{2}$CE=2．
綜上所述，CM的長(zhǎng)為1或2．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造等邊三角形以及全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．解題時(shí)注意靈活運(yùn)用：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．