Question

如圖所示，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．
（1）求m的值；
（2）求點B的坐標；                                     
（3）該二次函數(shù)圖象上是否存在一點P（x，y）（其中x＞0，y＞0），使△ACP的面積最大？若存在，求出P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，求解即可，
（2）令0=-x²+2x+3，解得x的值，即可求出點B的坐標，
（3）當直線平行于直線CA，且與拋物線只有一個交點時，△ACP的面積最大，列出點P經過的直線y=-x+b，結合拋物線利用△求出b，再聯(lián)立即可得出點P的坐標．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），
∴把A（3，0）代入y=-x²+2x+m，解得m=3，
（2）∵二次函數(shù)解析式為y=-x²+2x+3，
∴令0=-x²+2x+3，解得x₁=-1，x₂=3，
∴點B的坐標為（-1，0），
（3）存在
理由如下：
當直線平行于直線CA，且與拋物線只有一個交點時，△ACP的面積最大，
∵直線CA的解析式為：y=-x+3，
∴設點P經過的直線為y=-x+b，
∴-x+b=-x²+2x+3，化簡得x²-3x+b-3=0，△=9-4（b-3）=0，解得b=

21

4

，
聯(lián)立得

y=-x+ 21 4 y=-x2+2x+3

，解得

x= 3 2 y= 15 4

，
∴P點的坐標為（

3

2

，

15

4

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應用，解題的關鍵是利用△求出b的值．