Question

如圖，點A的坐標(biāo)為（-2，0），點B的坐標(biāo)為（8，0），以AB為直徑作⊙O′，交y軸的負半軸于點C，則點C的坐標(biāo)為

 

，若二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點A，C，B．已知點P是該拋物線上的動點，當(dāng)∠APB是銳角時，點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：計算題

分析：連結(jié)BC，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，再證明Rt△AOC∽Rt△COB，利用相似比計算出OC=4，則可得到C點坐標(biāo)為（0，-4）；設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），把C點坐標(biāo)代入求出a=

1

4

，于是得到拋物線解析式為y=

1

4

x²-

3

2

x-8，根據(jù)拋物線與圓的對稱性得到點C關(guān)于對稱軸的對稱點E為拋物線與圓的交點，接著求出E點坐標(biāo)為（6，-4），由于∠APB是銳角，則動點P在拋物線上且點P在⊙O′外，于是根據(jù)圖形易得點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為x＜-2或0＜x＜6或x＞8．

解答：解：連結(jié)BC，如圖，
∵AB為⊙O′的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
而∠ACO+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BCO，
∴Rt△AOC∽Rt△COB，
∴OA：OC=OC：OB，即2：OC=OC：8，解得OC=4，
∴C點坐標(biāo)為（0，-4）；
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+2）（x-8），
把C（0，-4）代入得a•2•（-8）=-4，解得a=

1

4

，
∴拋物線解析式為y=

1

4

（x+2）（x-8）=

1

4

x²-

3

2

x-8，
∵拋物線的對稱軸過圓心O′，
∴點C關(guān)于對稱軸的對稱點E為拋物線與圓的交點，
當(dāng)y=-4時，

1

4

x²-

3

2

x-8=-4，解得x₁=0，x₂=6，
∴E點坐標(biāo)為（6，-4），
∵∠APB是銳角，
∴點P在⊙O′外，
∴點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍為x＜-2或0＜x＜6或x＞8．
故答案為（0，-4），x＜-2或0＜x＜6或x＞8．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．