Question

4．等腰△ABC中，AB=AC，AD是高，E是AD上的一點，過C點作AB的平行線交BE延長線于F
（1）求證：BE²=EG•EF；
（2）當E在AD的延長線上時，其它條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？為什么？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形三線合一的特點推知BE=CE，可通過證△ECG和△EFC相似，根據(jù)相似三角形得出的對應(yīng)成比例線段，由此證得結(jié)論；
（2）（1）中的結(jié)論仍成立，證明過程同上．

解答 （1）證明：如圖1，∵△ABC中，AB=AC，D為BC中點，
∴AD是線段BC的垂直平分線，
∴AD平分∠BAC，BE=CE．
∵CF∥AB，
∴∠CFG=∠ABF；
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠CFG=∠ACE=∠CFE，
∵∠CEG=∠FEC，
∴△ECG∽△EFC，
∴EC²=EG•EF，
∴BE²=EG•EF；

（2）解：（1）中的結(jié)論仍成立，理由如下：
∵△ABC中，AB=AC，D為BC中點，
∴AE是線段BC的垂直平分線，
∴AD平分∠BAC，BE=CE．
∴∠EBC=∠ECD，
∴∠ABE=∠ACE，
∵CF∥AB，
∴∠CFG=∠ABF；
∴∠CFG=∠ACE=∠CFE，
∵∠CEG=∠FEC，
∴△ECG∽△EFC，
∴EC²=EG•EF，
∴BE²=EG•EF．

點評 本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定和應(yīng)用等知識，綜合性強，難度較大．