Question

18．已知圓內(nèi)接正三角形面積為$\frac{3}{4}$$\sqrt{3}$cm²，求這個(gè)圓的半徑．

Answer 1

分析 利用三角形半徑和邊心距的關(guān)系，求出半徑和邊心距及三角形的高的比，根據(jù)比例設(shè)出邊心距，再表示出三角形的高，即可列方程解答．

解答 解：如圖，
O為△ABC的中心，
AD為△ABC的邊BC上的高，
則OD為邊心距，
∴∠BAD=30°，
又∵AO=BO，
∴∠ABO=∠BAD=30°，
∴∠OBD=60°-30°=30°，
在Rt△OBD中，
BO=2DO，
即AO=2DO，
∴OD：OA：AD=1：2：3．
在正△ABC中，AD是高，設(shè)BD=x，則AD=BD•tan60°=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$x．
∵正三角形ABC面積為$\frac{3\sqrt{3}}{4}$cm²，
∴$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$×2x•$\sqrt{3}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則AD=$\frac{3}{2}$，
∵OD：OA：AD=1：2：3，
∴AO=1，
∴這個(gè)圓的半徑為1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的內(nèi)接三角形和外切三角形，根據(jù)正三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)，求出半徑和邊心距的長是解題的關(guān)鍵．