Question

8．如圖，過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作直線l，交邊BC于點(diǎn)M，過(guò)B、D兩點(diǎn)作直線l的垂線，垂足分別為E、F．
（1）試求BE、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由．
（2）若以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)直線l，仍過(guò)B，D兩點(diǎn)作直線l的垂線，則第（1）題中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1，利用“AAS”證明△ABE≌△ADF，則BE=AF，AE=DF，然后利用EF=AE-AF得到DF-BE=EF；
（2）如圖2，證明△ABE≌△ADF得到BE=AF，AE=DF，則利用EF=AF-AE得到BE-DF=EF；如圖3，同理可得BE+DF=EF．

解答 解：（1）DF-BE=EF．理由如下：如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵∠BAE+∠DAF=90°，∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠DFA}\\{∠BAE=∠DAF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AE-AF，
∴DF-BE=EF；
（2）第（1）題中的結(jié)論不成立．
如圖2，同理可證明△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF-AE，
∴BE-DF=EF；
如圖3，同理可證明△ABE≌△ADF，
∴BE=AF，AE=DF，
∵EF=AF+AE，
∴BE+DF=EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角．解決此題的關(guān)鍵是證明△ABE≌△ADF得到BE=AF，AE=DF，然后利用不同位置得到BE、DF、EF的關(guān)系．