Question

如圖，AB∥CD，P為定點，E、F分別是AB、CD上的動點．
（1）求證：∠P=∠BEP+∠PFD；
（2）如圖2，若M為CD上一點，∠FMN=∠BEP，且MN交PF于N．試說明∠EPF與∠PNM的關系，并證明你的結論；
（3）移動E、F使得∠EPF=90°，如圖3，作∠PEG=∠BEP，求

∠AEG

∠PFD

的值．

Answer 1

考點：平行線的性質

專題：幾何圖形問題,證明題

分析：（1）過P作PQ平行于AB，由AB與CD平行，得到PQ與CD平行，利用兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，再由∠EPF=∠1+∠2，等量代換就可得證；
（2）由（1）中的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD，根據(jù)∠FMN=∠BEP，等量代換再利用外角性質即可得證；
（3）由（1）中的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD，設設∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，根據(jù)∠PEG=∠BEP=90°-x，利用平角定義表示出∠AEG，即可求出所求比值．

解答：解：（1）過P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠BEP=∠1，∠2=∠PFD，
∵∠EPF=∠1+∠2，
∴∠EPF=∠BEP+∠PFD；
（2）由（1）的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD，
∵∠FMN=∠BEP，
∴∠EPF=∠FMN+∠PFD，
∵∠PNM為△MNF的外角，
∴∠PMN=∠FMN+∠PFD，
則∠EPF=∠PMN；
（3）由（1）的結論∠EPF=∠BEP+∠PFD=90°，
設∠PFD=x，則∠BEP=90°-x，
∵∠PEG=∠BEP=90°-x，
∴∠AEG=180°-2（90°-x）=2x，
則

∠AEG

∠PFD

=

2x

x

=2．

點評：此題考查了平行線的性質，三角形外角性質，以及平角定義，熟練掌握平行線的性質是解本題的關鍵．