Question

如圖，拋物線y=x²-x-2交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于C．過A、C畫直線點(diǎn)M在拋物線上，過M作MH⊥AC，垂足為H．若M在y軸右側(cè)，且△CHM∽△AOC（點(diǎn)C與點(diǎn)A對應(yīng)），求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：當(dāng)H點(diǎn)在C點(diǎn)上方時(shí)，當(dāng)M在x軸上方時(shí)，連接CM交x軸于點(diǎn)E，由條件可證得AE=CE，可求得E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可求得CE的解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式可求得M點(diǎn)；當(dāng)H在C點(diǎn)下方時(shí)，由條件可證明CM∥AB，可得出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：令y=0，即x²-x-2=0，解得x=-1或x=2，
∴A（-1，0），C（0，-2），
∴AO=1，CO=2，
如圖1，當(dāng)H點(diǎn)在C點(diǎn)上方時(shí)，設(shè)直線CM交x軸于點(diǎn)E，

∵△CHM∽△AOC，
∴∠OAC=∠MCH，
∴EA=EC，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則OE=x，
∴AE=x+1，
在Rt△OCE中，OE=x，OC=2，由勾股定理可得CE=

x2+4

，
∴x+1=

x2+4

，
解得x=1.5，即E點(diǎn)坐標(biāo)為（1.5，0），且C（0，-2），
設(shè)直線CE解析式為y=kx-2，把E點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得k=

4

3

，
∴直線CE解析式為y=

4

3

x-2，
聯(lián)立兩函數(shù)解析式可得

y=x2-x-2 y= 4 3 x-2

，解得

x=0 y=0

（舍去）或

x= 7 3 y= 22 3

，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

3

，

22

3

）；
如圖2，當(dāng)H點(diǎn)在C點(diǎn)下方時(shí)，

∵△CHM∽△AOC，
∴∠OAC=∠MCH，
又∵∠MCH=∠ACN，
∴∠MCH=∠OAC，
∴CM∥x軸
∴M點(diǎn)縱坐標(biāo)為-2，代入y=x²-x-2可得x²-x=0，解得x=0（舍去）或x=1，
此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）；
綜上可知，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

7

3

，

22

3

）或（1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及等腰三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定等知識(shí)的綜合應(yīng)用，掌握相似三角形對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵，注意分兩種情況討論及方程思想的應(yīng)用．