Question

12．如圖，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，連接BD，過點(diǎn)D作直線DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求證：直線DM是⊙O的切線；
（2）求證：DE²=DF•DA．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC，再根據(jù)∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，進(jìn)而得到OD⊥DM，據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB²=DF•DA，據(jù)此可得DE²=DF•DA．

解答 解：（1）如圖所示，連接OD，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAD=∠CAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，
∴∠BDM=∠DBC，
∴BC∥DM，
∴OD⊥DM，
∴直線DM是⊙O的切線；

（2）如圖所示，連接BE，
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE，
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE，
即∠BED=∠EBD，
∴DB=DE，
∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB，
∴△DBF∽△DAB，
∴$\frac{DF}{DB}$=$\frac{DB}{DA}$，即DB²=DF•DA，
∴DE²=DF•DA．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形的內(nèi)心與外心，圓周角定理以及垂徑定理的綜合應(yīng)用，解題時注意：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個內(nèi)角．