Question

16．如圖，拋物線與x軸交于點A（-$\frac{1}{3}$，0），點B（2，0），與y軸交于點C（0，1），連接BC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）N為拋物線上的一個動點，過點N作NP⊥x軸于點P，設點N的橫坐標為t（-$\frac{1}{3}＜t＜2$），求△ABN的面積s與t的函數(shù)解析式；
（3）若0＜t＜2且t≠0時，△OPN∽△COB，求點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）可設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，然后只需運用待定系數(shù)法就可解決問題；
（2）當-$\frac{1}{3}$＜t＜2時，點N在x軸的上方，則NP等于點N的縱坐標，只需求出AB，就可得到S與t的函數(shù)關系式；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得PN=2PO．由于PO=|t|，根據(jù)0＜t＜2，由PN=2PO得到關于t的方程，解這個方程，就可解決問題．

解答 解：（1）設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{9}a-\frac{1}{3}b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴拋物線的函數(shù)關系式為y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+1；

（2）當-$\frac{1}{3}$＜t＜2時，y_N＞0，
∴NP=|y_N|=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•PN
=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{1}{3}$）×（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=$\frac{7}{6}$（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=-$\frac{7}{4}$t²+$\frac{35}{12}$t+$\frac{7}{6}$；

（3）∵△OPN∽△COB，
∴$\frac{PO}{OC}$=$\frac{PN}{OB}$，
∴$\frac{PO}{1}$=$\frac{PN}{2}$，
∴PN=2PO．
當0＜t＜2時，PN=|y_N|=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，PO=|t|=t，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1=2t，
整理得：3t²-t-2=0，
解得：t₃=-$\frac{2}{3}$，t₄=1．
∵-$\frac{2}{3}$＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此時點N的坐標為（1，2）．
故點N的坐標為（1，2）．

點評 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關鍵是熟悉待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，需要注意的是：用點的坐標表示相關線段的長度時，應先用坐標的絕對值表示線段的長度，然后根據(jù)坐標的正負去絕對值；解方程后要檢驗，不符合條件的解要舍去．