Question

如圖，∠CAB=90°，AC=2，∠B=30°，作AC₁⊥BC，再過點C₁作C₁A₁⊥AB，…求圖中所有陰影部分的面積．

Answer 1

考點：勾股定理,含30度角的直角三角形

專題：規(guī)律型

分析：用面積法求出AC₁，再根據(jù)三角函數(shù)求出A₁C₁，A₁C₂，A₃C₃…，AA₁，A₁A₂，A₂A₃…，從而表示出△AA₁C₁的面積，△A₁A₂C₂的面積，△A₁A₂C₂的面積，發(fā)現(xiàn)為無窮等比數(shù)列，用極限求解即可．

解答：解：∵AC=2，∠B=30°，
∴BC=4，
∴AB=2

3

，
∴BC•AC₁=AC•AB，
∴4AC₁=2×2

3

，
∴AC₁=

3

，
則A₁C₁=

3

cos30°=

3

2

，
A₁C₂=A₁C₁cos30°=

3 3

4

，
同理可得，A₂C₂=

9

8

，
A₂C₃=

9 3

16

，
A₃C₃=

27

32

，
…
AA₁=

3

2

×tan30°=

3

2

，
A₁A₂=

9

8

×tan30°=

3 3

8

，
A₂A₃=

27

32

×tan30°=

9 3

32

，
…
△AA₁C₁的面積為

1

2

AA₁•A₁C₁=

1

2

×

3

2

×

3

2

=

3 3

8

，
△A₁A₂C₂的面積為

1

2

A₁A₂•A₂C₂=

1

2

×

3 3

8

×

9

8

=

27 3

128

，
△A₁A₂C₂的面積為

1

2

A₁A₃•A₃C₃=

1

2

×

9 3

32

×

27

32

=

243 3

2048

，
S_陰影=

3 3

8

+

27 3

128

+

243 3

2048

+…=

lim

n→∞

3 3 8 [1-( 9 16 )n]

1- 9 16

=

6 3

7

．

點評：本題考查了含30°角的直角三角形，涉及三角形的面積、等比數(shù)列、極限等知識，重在探究規(guī)律．