Question

7．如圖，拋物線y=x²-3x+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，PM⊥BC于M，且$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 要求點(diǎn)P的坐標(biāo)，只要設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P在拋物線上，由拋物線y=x²-3x+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，PM⊥BC于M，且$\frac{PM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，可以得到點(diǎn)P的橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而可以求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：將y=0代入y=x²-3x+2得x=1或x=2，將x=0代入y=x²-3x+2得，y=2，
∵拋物線y=x²-3x+2與坐標(biāo)軸交于A、B、C三點(diǎn)，
∴點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（2，0），點(diǎn)C（0，2），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=90°，
作PN⊥y軸于點(diǎn)N交BC于點(diǎn)D，如右圖所示，
∴△CND和△PMD是等腰直角三角形，
設(shè)PM=a，則MD=a，CM=2a，
∴CD=a，
∴ND=CD•sin45°=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$，PD=$\frac{a}{sin45°}=\sqrt{2}a$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{2}a}{2}+\sqrt{2}a$，2-$\frac{\sqrt{2}a}{2}$），
即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3\sqrt{2}a}{2}，2-\frac{\sqrt{2}a}{2}$）
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴$（\frac{3\sqrt{2}a}{2}）^{2}-3×\frac{3\sqrt{2}a}{2}+2=2-\frac{\sqrt{2}a}{2}$，
解得，a=$\frac{8\sqrt{2}}{9}$或a=0（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}，\frac{10}{9}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問(wèn)題．