Question

16．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，AB=AD=10cm，BC=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s的速度沿折線ABCD方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．
（1）求CD的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，求四邊形PBQD的周長(zhǎng)．
（3）當(dāng)點(diǎn)P在折線BCD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻，使得△BPQ的面積為16cm²？若存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于M，根據(jù)勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．
（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖示，由題可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根據(jù)勾股定理，求出BQ即可．
（3）此題要分三種情況進(jìn)行討論：即①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，②當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上，③當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上，根據(jù)三種情況點(diǎn)的位置，可以確定t的值．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CD于M，
根據(jù)勾股定理，AD=10，AM=BC=8，
∴DM=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∴CD=16；

（2）當(dāng)四邊形PBQD為平行四邊形時(shí)，
點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖2，
由題知：BP=10-3t，DQ=2t
∴10-3t=2t，解得t=2
此時(shí)，BP=DQ=4，CQ=12
∴BQ=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$
∴四邊形PBQD的周長(zhǎng)=2（BP+BQ）=8+8$\sqrt{13}$；


（3）①當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，即$\frac{10}{3}$＜t≤6時(shí)，如圖3，
BP=3t-10，CQ=16-2t
∴S_△BPQ=$\frac{1}{2}$BP•CQ=$\frac{1}{2}$（3t-10）×（16-2t）=16，
解得：t=6，或t=$\frac{16}{3}$；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，
若點(diǎn)P在Q的右側(cè)，即6≤t≤$\frac{34}{5}$，
則有PQ=34-5t，S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（34-5t）×8=16，
解得：t=6，
若點(diǎn)P在Q的左側(cè)，
即$\frac{34}{5}$＜t≤8，
則有PQ=5t-34，S_△BPQ=$\frac{1}{2}$（5t-34）×8=16，
解得t=7.6，
綜合得，滿(mǎn)足條件的t存在，其值分別為t=6，或t=$\frac{16}{3}$，或t=7.6．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合應(yīng)用以及勾股定理和平行四邊形的性質(zhì)以及直角梯形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練利用平行四邊形性質(zhì)得出BP=DQ是解題關(guān)鍵．