Question

已知：如圖①，直線MN⊥直線PQ，垂足為O，點(diǎn)A在射線OP上，點(diǎn)B在射線OQ上（A、B不與O點(diǎn)重合），點(diǎn)C在射線ON上且OC=2，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥PQ，點(diǎn)D在點(diǎn)C的左邊且CD=3．
（1）直接寫(xiě)出△BCD的面積．
（2）如圖②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分線交OC于E，交AC于F，求證：∠CEF=∠CFE．
（3）如圖③，若∠ADC=∠DAC，點(diǎn)B在射線OQ上運(yùn)動(dòng)，∠ACB的平分線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，在點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

∠H

∠ABC

的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，求出變化范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：坐標(biāo)與圖形性質(zhì),垂線,三角形的面積

專題：

分析：（1）因?yàn)椤鰾CD的高為OC，所以S_△BCD=

1

2

CD•OC，
（2）利用∠CFE+∠CBF=90°，∠OBE+∠OEB=90°，求出∠CEF=∠CFE．
（3）由∠ABC+∠ACB=2∠DAC，∠H+∠HCA=∠DAC，∠ACB=2∠HCA，求出∠ABC=2∠H，即可得答案．

解答：解：（1）S_△BCD=

1

2

CD•OC=

1

2

×3×2=3．
（2）如圖②，

∵AC⊥BC，
∴∠BCF=90°，
∴∠CFE+∠CBF=90°，
∵直線MN⊥直線PQ，
∴∠BOC=∠OBE+∠OEB=90°，
∵BF是∠CBA的平分線，
∴∠CBF=∠OBE，
∵∠CEF=∠OBE，
∴∠CFE+∠CBF=∠CEF+∠OBE，
∴∠CEF=∠CFE．
（3）如圖③，

∵直線l∥PQ，
∴∠ADC=∠PAD，
∵∠ADC=∠DAC
∴∠CAP=2∠DAC，
∵∠ABC+∠ACB=∠CAP，
∴∠ABC+∠ACB=2∠DAC，
∵∠H+∠HCA=∠DAC，
∴∠ABC+∠ACB=2∠H+2∠HCA
∵CH是，∠ACB的平分線，
∴∠ACB=2∠HCA，
∴∠ABC=2∠H，
∴

∠H

∠ABC

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查垂線，角平分線和三角形面積，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)相等的角求解．