Question

如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC邊上任意一點(diǎn)，求證：BD²+CD²=2AD²．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理

專題：證明題

分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之間的關(guān)系即可得證．

解答：證明：作AE⊥BC于E，如圖所示：
由題意得：ED=BD-BE=CE-CD，
∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BE=CE=

1

2

BC，
由勾股定理可得：
AB²+AC²=BC²，
AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，
AD²=AE²+ED²，
∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²
=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE
=AB²+AC²+BD²+CD²-2×

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2

BC×BC
=BD²+CD²，即，BD²+CD²=2AD²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是勾股定理，關(guān)鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運(yùn)用“等量代換”求出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系．