Question

8．矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果分別以A、C為圓心的兩圓外切，點D在圓C內(nèi)，點B在圓C外，那么圓A的半徑r的取值范圍是8＜r＜9或1＜r＜2．

Answer 1

分析 首先根據(jù)點D在⊙C內(nèi)，點B在⊙C外，求得⊙C的半徑是大于3而小于4；再根據(jù)勾股定理求得AC=5，最后根據(jù)兩圓的位置關系得到其數(shù)量關系．

解答 解：∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵點D在⊙C內(nèi)，點B在⊙C外，
∴⊙C的半徑R的取值范圍為：3＜R＜4，
∴當⊙A和⊙C內(nèi)切時，圓心距等于兩圓半徑之差，則r的取值范圍是8＜r＜9；
當⊙A和⊙C外切時，圓心距等于兩圓半徑之和是5，設⊙C的半徑是R_c，即R_c+r=5，
又∵3＜R_c＜4，
則r的取值范圍是1＜r＜2．
所以半徑r的取值范圍是8＜r＜9或1＜r＜2．
故答案為：8＜r＜9或1＜r＜2．

點評 此題綜合考查了點和圓的位置關系以及兩圓的位置關系與數(shù)量關系之間的等價關系．同時注意勾股定理的運用．特別注意兩圓相切，可能內(nèi)切或外切．