Question

10．如圖，拋物線y=-x²+bx+c與直線AB交于A（-4，-4），B（0，4）兩點，直線AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．
（1）求拋物線y=-x²+bx+c的表達式；
（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；
（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；
②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求$\frac{1}{2}$AM+CM它的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進而利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解即可；
（3）①先判斷出要以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，只有EF為對角線，利用中點坐標公式建立方程即可；
②先取EG的中點P進而判斷出△PEM∽△MEA即可得出PM=$\frac{1}{2}$AM，連接CP交圓E于M，再求出點P的坐標即可得出結論．

解答 解：（1）∵點A（-4，-4），B（0，4）在拋物線y=-x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-16-4b+c=-4}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+4；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{n=4}\\{-4k+n=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=2x+4，
設E（m，2m+4），
∴G（m，-m²-2m+4），
∵四邊形GEOB是平行四邊形，
∴EG=OB=4，
∴-（-m²-2m+4-2m-4）=4，
∴m=-2
∴G（-2，4）．

（3）①如圖1，
由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，
∴設E（a，2a+4），
∵直線AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6，
∴F（a，-$\frac{1}{2}$a-6），
設H（0，p），
∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，
∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=-$\frac{1}{2}$x-6，
∴AB⊥AC，
∴EF為對角線，
∴$\frac{1}{2}$（-4+0）=$\frac{1}{2}$（a+a），$\frac{1}{2}$（-4+p）=$\frac{1}{2}$（2a+4-$\frac{1}{2}$a-6），
∴a=-2，P=-1，
∴E（-2，0）．H（0，-1）；

②如圖2，
由①知，E（-2，0），H（0，-1），A（-4，-4），
∴EH=$\sqrt{5}$，AE=2$\sqrt{5}$，
設AE交⊙E于G，取EG的中點P，
∴PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
連接PC交⊙E于M，連接EM，
∴EM=EH=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{ME}{AE}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PE}{ME}=\frac{ME}{AE}$=$\frac{1}{2}$，∵∠PEM=∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴$\frac{PM}{AM}=\frac{ME}{AE}=\frac{1}{2}$，
∴PM=$\frac{1}{2}$AM，
∴$\frac{1}{2}$AM+CM的最小值=PC，
設點P（p，2p+4），
∵E（-2，0），
∴PE²=（p+2）²+（2p+4）²=5（p+2）²，
∵PE=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴5（p+2）²=$\frac{5}{4}$，
∴p=-$\frac{5}{2}$或p=-$\frac{3}{2}$（由于E（-2，0），所以舍去），
∴P（-$\frac{5}{2}$，-1），
∵C（0，-6），
∴PC=$\sqrt{（-\frac{5}{2}）^{2}+（-1+6）^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
即：$\frac{1}{2}$AM+CM=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質，矩形的性質，相似三角形的判定和性質，中點坐標公式，極值的確定，解（1）的關鍵是掌握待定系數(shù)法，解（2）的關鍵是利用平行四邊形的對邊相等建立方程求解，解（3）①的關鍵是利用中點坐標公式建立方程求解，解（3）②的關鍵是構造相似三角形，是一道中等難度的題目．