Question

13．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠ABC=2∠D，連結(jié)OA、OB、OC、AC，OB與AC相交于點E．
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）若∠AOB=3∠COB，OC=4$\sqrt{3}$，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形得到∠ABC+∠D=180°，根據(jù)∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，從而求得∠D=60°，進(jìn)而得出答案；
（2）首先根據(jù)∠AOB=3∠COB得到∠COB=30°，從而得到∠AOB為直角，然后利用S_陰影=S_扇形OBA-S_△OEA求解．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABC+∠D=180°，
∵∠ABC=2∠D，
∴∠D+2∠D=180°，
∴∠D=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°；

（2）∵∠AOB=3∠COB，
∴∠AOC=∠AOB+3∠COB=120°，
∴∠COB=30°，
∴∠AOB=∠BOC-∠AOB=90°，
在Rt△OCE中，OC=4$\sqrt{3}$，
∴OE=OA•tan∠OAE=4$\sqrt{3}$•tan30°=4$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4，
∴S_△OEA=$\frac{1}{2}$OE•OA=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
∴S_扇形OBA=$\frac{90π（4\sqrt{3}）^{2}}{360}$=12π，
∴S_陰影=S_扇形OBA-S_△OEA=12π-4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了扇形面積的計算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解直角三角形的知識，在求不規(guī)則的陰影部分的面積時常常轉(zhuǎn)化為幾個規(guī)則幾何圖形的面積的和或差．