Question

5．如圖，PB為⊙O的切線，點(diǎn)B為切點(diǎn)，直線PO交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)，過點(diǎn)B作PO的垂線BA，垂足為點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)A，延長(zhǎng)AO與⊙O交于點(diǎn)C，連接BC，AF，
（1）求證：直線PA為⊙O的切線，
（2）試探究線段EF，OD，OP之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明，
（3）若BC=6，tan∠F=$\frac{1}{2}$，求cos∠ACB的值和線段PE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OB，先由切線的性質(zhì)得出∠OBP=90°，再證明△OPA≌△OPB，由對(duì)應(yīng)角相等廣昌出∠OAP=∠OBP=90°，即可得出結(jié)論；
（2）證△OAD∽△OPA，得出對(duì)應(yīng)邊成比例$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，再由EF=2OA，即可得出結(jié)論；
（3）連接AE，由已知條件設(shè)AE=x，AF=2x，根據(jù)勾股定理得出EF，由面積得出AD，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程求出x，即可求出cos∠ACB的值，再求出OD、OP的長(zhǎng)，即可求出線段PE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接OB，如圖所示：
∵OP⊥AB，
∴OP平分AB，
∴OP是AB的垂直平分線，
∴PA=PB，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
在△OPA和△OPB中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}&{\;}\\{PA=PB}&{\;}\\{OP=OP}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直線PA為⊙O的切線；
（2）EF²=4OD•OP；
理由：∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD∽△OPA，
∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$，即OA²=OD•OP，
∵EF為圓的直徑，
∴EF=2OA，
∴$\frac{1}{4}$EF²=OD•OP，
即EF²=4OD•OP；
（3）連接AE，如圖所示：
∵EF為直徑，
∴∠FAE=90°．
∵tan∠F=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{1}{2}$，
∴設(shè)AE=x，AF=2x，
則由勾股定理，得
EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
∵$\frac{1}{2}$AE•AF=$\frac{1}{2}$EF•AD，
∴AD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x．
又∵AB⊥EF，
∴AB=2AD=$\frac{4\sqrt{5}}{5}x$，
∴Rt△ABC中，AC=$\sqrt{5}$x，BC²+AB²=AC²，
∴6²+（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$x）²=（$\sqrt{5}$x）²，
解得：x=2$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{5}$•2$\sqrt{5}$=10，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$；
∵AD═$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×2$\sqrt{5}$=4，OA=$\frac{1}{2}$AC=5，
∴OD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
又∵OA²=OD•OP，
∴OP=$\frac{O{A}^{2}}{OD}$=$\frac{{5}^{2}}{3}$=$\frac{25}{3}$，
∴PE=OP-OE=$\frac{25}{3}$-5=$\frac{10}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，通過設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程以達(dá)到求解的目的．