Question

16．如圖，△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，E、F分別在CA、CB上，將△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)M處，若AM=3BM，求$\frac{CF}{CE}$．

Answer 1

分析 過M作MG⊥BC于G，MH⊥AC于H，得到四邊形MGCH是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CH=MG，得到△BMG是等腰直角三角形，通過△AHM∽△BMG，得到$\frac{GM}{MH}=\frac{BM}{AM}$，求得$\frac{CH}{MH}=\frac{BM}{AM}$=$\frac{1}{3}$，由于△ECF∽△MHE，即可得到結(jié)論．

解答 解：過M作MG⊥BC于G，MH⊥AC于H，
∵∠ACB=90°，
∴四邊形MGCH是矩形，
∴CH=MG，
∵AC=BC，
∴△BMG是等腰直角三角形，
∴BG=GM=CH，
∵M(jìn)H∥BC，
∴△AHM∽△BMG，
∴$\frac{GM}{MH}=\frac{BM}{AM}$，
∴$\frac{CH}{MH}=\frac{BM}{AM}$=$\frac{1}{3}$，
∵△CEF沿直線EF翻折，點(diǎn)C恰好落在AB上的點(diǎn)M處，
∴EF⊥CM，
∵∠1=∠2，
∴∠HMC=∠CEF，
∴△ECF∽△MHE，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{CH}{HM}$=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了翻折的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．