Question

6．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax²+c交x軸于點(diǎn)A、B（A左B右），交y軸于點(diǎn)C，OB=OC，且S_△ABC=4．
（1）如圖1，求a、c的值；
（2）如圖2，點(diǎn)P在第三象限的拋物線上，BP交y軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，線段CD的長(zhǎng)為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；
（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)Q在線段PD上，若PC=$\sqrt{2}$CQ，2∠PCD-∠PCQ=45°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的面積公式求出B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式解方程組即可解決問題．
（2）設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，把P（t，-$\frac{1}{2}$t²+2），B（2，0）代入，解方程組即可．
（3）如圖2中，作P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接CP′，PP′，QP′，PP′交y軸于F，PQ與OF交于點(diǎn)E，作P′Q′⊥CQ于Q′．只要證明∠OBD=45°，求出直線PB的解析式，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)OB=OC=OA=m，
∵$\frac{1}{2}$•2m•m=4，
∴m=2，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（2，0），C（0，2），代入拋物線解析式得到$\left\{\begin{array}{l}{4a+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．

（2）如圖1中，

設(shè)直線PB解析式為y=kx+b，把P（t，-$\frac{1}{2}$t²+2），B（2，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{tk+b=-\frac{1}{2}{t}^{2}+2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{t+2}{2}}\\{b=t+2}\end{array}\right.$，
∴直線PB的解析式為y=-$\frac{t+2}{2}$x+t+2，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為t+2，
∴d=-t．（t＜-2）．

（3）如圖2中，作P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接CP′，PP′，QP′，PP′交y軸于F，PQ與OF交于點(diǎn)E，作P′Q′⊥CQ于Q′．

根據(jù)對(duì)稱性可知：∠PCD=∠P′CD，PC=CP′，
∵PC=$\sqrt{2}$CQ，2∠PCD-∠PCQ=45°，
∴∠P′CQ=45°，CP′=$\sqrt{2}$CQ′，
∴Q與Q′重合，
∴△CQP′是等腰直角三角形，
∴∠CQE=∠EFP′=90°，∵∠CEQ=∠FEP′，
∴∠DCQ=∠FP′Q，
∵CD=PF=FP′（由2可知），
∴△CDQ≌△P′FQ，
∴DQ=QF，∠CQD=∠P′QF，
∴∠DQF=∠CQP′=90°，
∴△DQF是等腰直角三角形，
∴∠QDF=∠ODB=∠OBD=45°，
∴直線BD的解析式為y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=-6}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-4，-6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．