Question

1．（1）如圖（1），E為平行四邊形ABCD內一點，求證：S_△ADE+S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；
（2）如圖（2），若點E在平行四邊形ABCD邊CD所在直線上方，請?zhí)骄縎_△ADE、S_△BCE、S_△ABE、S_△DCE之間的數(shù)量關系．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥CD 于M，直線EM交AB于點N，根據(jù)平行線的性質得到EN⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式得到S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EM，于是得到S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$AB（EM+EN）=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，同理S_△ADE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，等量代換得到結論；
（2）過E作EF⊥AB于點F，交CD于點G． 于是得到S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AB•GF=$\frac{1}{2}$ S_{平行四邊形ABCD}+$\frac{1}{2}$AB•EG，由于S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EG，S_△ABG=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，等量代換得到結論．

解答 證明：（1）如圖（1），作EM⊥CD 于M，直線EM交AB于點N，
∵AB‖CD，
∴EN⊥AB，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EN，S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EM，
∵AB=CD，
∴S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$AB（EM+EN）=$\frac{1}{2}$AB•MN=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，同理S_△ADE+S_△BCE=$\frac{1}{2}$S_{四邊形ABCD}，
∴S_△ADE+S_△BCE=S_△ABE+S_△DCE；

（2）如圖（2），過E作EF⊥AB于點F，交CD于點G． 則S_△ABE=$\frac{1}{2}$AB•EF
=$\frac{1}{2}$AB•（EG+GF）
=$\frac{1}{2}$AB•EG+$\frac{1}{2}$AB•GF
=$\frac{1}{2}$ S_{平行四邊形ABCD}+$\frac{1}{2}$AB•EG，
又∵S_△CDE=$\frac{1}{2}$CD•EG，S_△ABG=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}，
∴S_△ABE+S_△CDE=$\frac{1}{2}$S_{平行四邊形ABCD}．
∴S_△ABE=S_△ADE+S_△CDE+S_△BCE．

點評 本題考查了平行四邊形的性質．平行四邊形的面積和三角形的面積的求法，熟記三角形的面積公式是解題的關鍵．