Question

9．如圖，直角△AOB的斜邊OB在x軸正半軸上，雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點A，交AB于點C，且AC=BC，OA=3，則k=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，設A（t，$\frac{k}{t}$），先證明CE為△ADB的中位線得到CE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2t}$，DE=BE，則利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征可表示出C（2t，$\frac{k}{2t}$），于是得到DE=BE=t，然后證明△OAD∽△OBA，利用相似比計算出t，再利用勾股定理計算出k．

解答 解：作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，如圖，
設A（t，$\frac{k}{t}$），
∵CE∥AD，AC=BC，
∴CE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{k}{2t}$，DE=BE，
∴C（2t，$\frac{k}{2t}$），
∴DE=BE=t，
∵∠AOD=∠BOA，
∴△OAD∽△OBA，
∴OA：OB=OD：OA，即3：3t=t：3，解得t=$\sqrt{3}$，
在Rt△OAD中，（$\sqrt{3}$）²+（$\frac{k}{\sqrt{3}}$）²=3²，
∴k=3$\sqrt{2}$．
故答案為3$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了反比例好圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．解決本題的關鍵是確定OB與OD的關系．