Question

9．已知關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，k為正整數(shù)．
（1）求k的值；
（2）當(dāng)此方程有一根為0時，直線y=x+2與關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+$\frac{k-1}{2}$的圖象交于A、B兩點．若M是線段AB上的一個動點，過點M作MN⊥x軸，交二次函數(shù)的圖象于點N，求線段MN的最大值及此時點M的坐標(biāo)；
（3）若直線y=$\frac{1}{2}$x+b與函數(shù)y=|x²+2x+$\frac{k-1}{2}$|的圖象恰好有三個公共點，求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用一元二次方程根的判別式可得到關(guān)于k的不等式，利用k為正整數(shù)可求得k的值；
（2）由條件可求得k的值，則可求得二次函數(shù)解析式，可求得A、B坐標(biāo)，可設(shè)M坐標(biāo)為（m，m²+2m），可表示出N點坐標(biāo)，則可用m表示出線段MN的長，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得線段MN的最大值及此時點M的坐標(biāo)；
（3）可畫出二次函數(shù)的圖象，當(dāng)直線過A點時，可知直線與拋物線有三個公共點，當(dāng)直線不過A點時，結(jié)合函數(shù)圖象，利用方程可求得對應(yīng)的b的值．

解答 解：
（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△=b²-4ac=4-4×$\frac{k-1}{2}$＞0，解得k＜3，
∵k為正整數(shù)，
∴k為1或2；
（2）把x=0代入方程x²+2x+$\frac{k-1}{2}$=0，解得k=1，
此時二次函數(shù)為y=x²+2x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{y={x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴A（-2，0），B（1，3），
由題意可設(shè)M（m，m+2），其中-2＜m＜1，
則N（m，m²+2m），
∴MN=|m+2-（m²+2m）|=-m²-m+2=$-{（m+\frac{1}{2}）^2}+\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)m=$-\frac{1}{2}$時，MN的長度最大值為$\frac{9}{4}$，
此時點M的坐標(biāo)為（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）①當(dāng)y=$\frac{1}{2}$x+b₁過點A時，直線與函數(shù)圖象有3個公共點（如圖2所示），

把A（-2，0）代入y=$\frac{1}{2}$x+b₁，得b₁=1，
②當(dāng)y=$\frac{1}{2}$x+b₂與函數(shù)圖象有3個公共點，
由于該函數(shù)圖象與虛線對應(yīng)的部分解析式為y=-x²-2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+b{\;}_2\\ y=-{x^2}-2x\end{array}\right.$有唯一解，此時-x²-$\frac{5}{2}$x-b₂=0有兩個相等的實數(shù)根，
則${（-\frac{5}{2}）^2}-4{b_2}=0$，解得b₂=$\frac{25}{16}$，
綜上所述b=1或b=$\frac{25}{16}$．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及根的判別式、二次函數(shù)的最大值、函數(shù)圖象的交點和數(shù)形結(jié)合思想等知識點．在（1）中注意利用一元二次方程根的判別式，在（2）中用M點的坐標(biāo)表示出MN的長度是解題的關(guān)鍵，即得到關(guān)于M點坐標(biāo)的二次函數(shù)，在（3）中注意數(shù)形結(jié)合．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．