Question

5．已知：AD，BC是⊙O的兩條互相垂直的弦，垂足為E，H是弦BC的中點，AO是∠DAB的平分線，半徑OA交弦CB于點M．

（1）如圖1，延長OH交AB于點N，求證：∠ONB=2∠AON；
（2）如圖2，若點M是OA的中點，求證：AD=4OH；
（3）如圖3，延長HO交⊙O于點F，連接BF，若CO的延長線交BF于點G，CG⊥BF，CH=$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OH是BC的中點，即可證明OH⊥BC，并且AD⊥BC，則ON∥AD，根據(jù)角平線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可證得；
（2）過點O作OP⊥AD，可證四邊形OHEP是矩形，證明△OHM≌△AEM，則OH=AE=$\frac{1}{2}$AP，然后根據(jù)垂徑定理即可證得；
（3）延長FN交⊙O于點K，連接BK，首先求得∠CBK的度數(shù)，然后在直角△OCH中，利用三角函數(shù)求得半徑的長．

解答 （1）證明：如圖1，H是弦BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠DEB=90°
∴∠OHB=∠DEB，
∴OH∥AD，
∴∠DAO=∠AOH，
∵∠DAO=∠OAN，
∴∠OAN=∠NOA，
∴∠ONB=∠NAO+∠NOA=2∠AON
∴∠ONB=2∠AON； 
（2）證明：如圖2，過點O作OP⊥AD，可證四邊形OHEP是矩形，
則OH=EP，
∵點M是OA的中點，
在△OHM和△AEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMH=∠AME}\\{OM=AM}\\{∠OHM=∠AEM}\end{array}\right.$，
∴△OHM≌△AEM，
∴OH=AE，
∴EP=AE，
即：AP=2AE=2OH
∵OP⊥AD，
∴AD=2AP，
∴AD=2AP=2×2OH=4OH
∴AD=4OH；
（3）解：如圖3，延長FN交⊙O于點K，連接BK，
∵FK是⊙O的直徑，
∴∠KBF=90°．
∵CG⊥BF，
∴∠CGF=90°
∴CG∥BK，
∴∠CON=∠OKB．
又∵∠COK=2∠CBK，
∴∠OKB=2∠CBK，
在Rt△HKB中，∠CBK+∠OKB=90°，
∴∠CBK=30°，
∴∠COK=2∠CBK=60°．
在Rt△OCH中，OC=$\frac{CH}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴⊙O的半徑為2．

點評 考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，正確求得∠CBK的度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．