Question

翻轉(zhuǎn)類(lèi)的計(jì)算問(wèn)題在全國(guó)各地的中考試卷中出現(xiàn)的頻率很大，因此初三（5）班聰慧的小菲同學(xué)結(jié)合2011年蘇州市數(shù)學(xué)中考卷的倒數(shù)第二題對(duì)這類(lèi)問(wèn)題進(jìn)行了專(zhuān)門(mén)的研究．你能和小菲一起解決下列各問(wèn)題嗎？（以下各問(wèn)只要求寫(xiě)出必要的計(jì)算過(guò)程和簡(jiǎn)潔的文字說(shuō)明即可．）
（1）如圖①，小菲同學(xué)把一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形紙片（即△OAB）放在直線l₁上，OA邊與直線l₁重合，然后將三角形紙片向右翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置，求頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路程；并求頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路線；
（2）小菲進(jìn)行類(lèi)比研究：如圖②，她把邊長(zhǎng)為1的正方形紙片OABC放在直線l₂上，OA邊與直線l₂重合，然后將正方形紙片向右翻轉(zhuǎn)若干次．她提出了如下問(wèn)題：
問(wèn)題①：若正方形紙片OABC接上述方法翻轉(zhuǎn)一周回到初始位置，求頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程；
問(wèn)題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過(guò)多少次旋轉(zhuǎn)，頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的路程是

41+20 2

2

π．
（3）①小菲又進(jìn)行了進(jìn)一步的拓展研究，若把這個(gè)正三角形的一邊OA與這個(gè)正方形的一邊OA重合（如圖3），然后讓這個(gè)正三角形在正方形上翻轉(zhuǎn)，直到正三角形第一次回到初始位置（即OAB的相對(duì)位置和初始時(shí)一樣），求頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路程．
②若把邊長(zhǎng)為1的正方形OABC放在邊長(zhǎng)為1的正五邊形OABCD上翻轉(zhuǎn)（如圖④），直到正方形第一次回到初始位置，求頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路程．
（4）規(guī)律總結(jié)，邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正多邊形，其中一個(gè)在另一個(gè)上翻轉(zhuǎn)，當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時(shí)，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)正三角形的性質(zhì)及弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)A繞點(diǎn)B、點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的兩段弧長(zhǎng)相加即可；
（2）①根據(jù)正方形旋轉(zhuǎn)一周的路徑，；利用弧長(zhǎng)公式以及扇形面積公式求出即可；
②利用正方形紙片OABC經(jīng)過(guò)4次旋轉(zhuǎn)得出旋轉(zhuǎn)路徑，進(jìn)而得出

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

，即可得出旋轉(zhuǎn)次數(shù)；
（3）①首先求出每翻三次翻一周，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)，進(jìn)而得出三角形共翻四周回到初始位置，所以頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)；
②首先求出正方形每翻四次翻一周，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)，再利用共翻5周回到初始位置，即可得出頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)；
（4）邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)正多邊形，其中一個(gè)在另一個(gè)上翻轉(zhuǎn)，當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時(shí)，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù)．

解答：解：（1）頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

120π×1

180

×2=

4

3

π；
          
（2）①頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

90π×1

180

×2+

90π× 2

180

=π+

2

2

π=

2+ 2

2

π，
②由①：每翻轉(zhuǎn)一周頂點(diǎn)O經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

2+ 2

2

π，
由

41+20 2

2

π=

20(2+ 2 )

2

π+

π

2

即翻轉(zhuǎn)20周后再翻一次，共翻81次．                      

（3）①每翻三次翻一周，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

210π×1

180

×2=

7

3

π，
共翻四周回到初始位置，所以頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

7

3

π×4=

28

3

π，
②每翻四次翻一周，頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：

162π×1

180

×2+

162π× 2

180

=

81π

45

+

9 2 π

10

，
共翻5周回到初始位置，所以頂點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的總路線長(zhǎng)為：
5×（

81π

45

+

9 2 π

10

）=

18+9 2

2

π，

（4）當(dāng)翻轉(zhuǎn)后第一次回到初始位置時(shí)，該正多邊形翻轉(zhuǎn)的次數(shù)一定是兩正多邊形邊數(shù)的最小公倍數(shù)．
故答案為：最小公倍數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式等知識(shí)，熟練利用正多邊形的性質(zhì)以及弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．