Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，15），且過點(diǎn)（-2，10），對(duì)稱軸AB交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，以EB為邊在對(duì)稱軸右側(cè)作矩形EBCD，使得點(diǎn)D恰好落在拋物線上，點(diǎn)D′是點(diǎn)D關(guān)于直線EC的軸對(duì)稱點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D′恰好落在y軸上的點(diǎn)（0，6）時(shí)，求此時(shí)D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）直線CD′交對(duì)稱軸AB于點(diǎn)F；
①當(dāng)點(diǎn)D′在對(duì)稱軸AB的左側(cè)時(shí)，且△ED′F∽△CDE，求出DE：DC的值
②連結(jié)B D′，是否存在點(diǎn)E，使△E D′B為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出BE：BC的值；若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）過E點(diǎn)作EF⊥y軸于F，設(shè)D的坐標(biāo)（m，-

1

5

（m-3）²+15．），則EF=ED′=m-3，CD′=CD，EF=3，D′O=6，然后根據(jù)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例得出關(guān)于m的方程，解方程求得m的值即可求得D的坐標(biāo)；
（3）①根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)得出∠DCE=∠D′CE，R然后根據(jù)平行線和三角形相似即可求得∠D′EF=∠BEC=∠CEB，從而得出∠D′CE=∠DCE=30°，解直角三角形即可求得；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，得出∠BCD′=∠D′CE=∠BEC，從而得出∠BEC=30°，解直角三角形即可求得；

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，15），且過點(diǎn)（-2，10），
∴設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-3）²+15，
∴10=a（-2-3）²+15，解得：a=-

1

5

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

5

（x-3）²+15．

（2）如圖2，過E點(diǎn)作EF⊥y軸于F，
設(shè)D的坐標(biāo)（m，-

1

5

（m-3）²+15．），則EF=ED′=m-3，CD′=CD，EF=3，D′O=6，
∵△EFD′∽△D′OC，
∴

EF

D′O

=

ED′

D′C

，
即：

3

6

=

m-3

- 1 5 (m-3)2+15

，
整理得：（m-3）²+10（m-3）-75=0，
解得：m=-12（舍去）m=8，
∴D（8，10）；

（3）①如圖1，根據(jù)對(duì)折的性質(zhì)，∠DCE=∠D′CE，
∵DC∥BE，
∴∠DCE=∠BEC，
∵△ED′F∽△CDE，
∴∠D′EF=∠DCE=∠D′CE，
∴∠D′EF=∠BEC=∠CEB，
∵∠D′EF+∠BEC+∠CEB=90°，
∴∠D′CE=∠DCE=30°，
∴

DE

DC

=tan∠DCE=tan30°，
∴DE：DC=

3

：3．

②如圖3，∵△E D′B為等腰三角形，
∴D′E=D′B，
∴∠D′EB=∠D′BE，
∵D′E=BC，
∴D′B=BC，
∠BD′C=∠D′CB，
∵∠EBC=∠ED′C=90°，
∴E、D、′B、C四點(diǎn)共圓，
∴∠D′BE=∠D′CE，∠D′CB=∠D′EB，∠BD′C=∠BEC，
∴∠BCD′=∠D′CE=∠BEC，
∵∠BCD′+∠D′CE+∠BEC=90°，
∴∠BEC=30°，
∴

BE

BC

=cot30°=

3

，
∴BE：BC=

3

：1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，矩形的性質(zhì)對(duì)折的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，解直角三角形等；