Question

20．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4與y軸交于C，與x軸交于點(diǎn)A、B，平行于x軸的動(dòng)直線l與拋物線交于點(diǎn)P，直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 本題要分三種情況進(jìn)行求解：①當(dāng)OD=OF時(shí)，OD=DF=AD=2，又有∠OAF=45°，那么△OFA是個(gè)等腰直角三角形，于是可得出F的坐標(biāo)應(yīng)該是（2，2），由于P，F(xiàn)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，因此可將F的縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標(biāo)；②當(dāng)OF=DF時(shí)，如果過F作FM⊥OD于M，那么FM垂直平分OD，因此OM=1，在直角三角形FMA中，由于∠OAF=45°，因此FM=AM=3，也就得出了F的縱坐標(biāo)，然后根據(jù)①的方法求出P的坐標(biāo)；③當(dāng)OD=OF時(shí)，OF=2，由于O到AC的最短距離為2$\sqrt{2}$，因此此種情況是不成立的，綜合上面的情況即可得出符合條件的P的坐標(biāo)．

解答 解：存在這樣的直線，使得△ODF是等腰三角形，理由為：
在△ODF中，如圖，
，
分三種情況考慮：
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，2），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=2，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）；
②若FO=FD，過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M，
由等腰三角形的性質(zhì)得：OM=$\frac{1}{2}$OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴F（1，3），
由-$\frac{1}{2}$x²+x+4=3，
解得：x₁=1+$\sqrt{3}$，x₂=1-$\sqrt{3}$，
此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)O到AC的距離為2$\sqrt{2}$，而OF=OD=2＜2$\sqrt{2}$，與OF≥2$\sqrt{2}$矛盾，
所以AC上不存在點(diǎn)使得OF=OD=2，
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P（1+$\sqrt{5}$，2）或P（1-$\sqrt{5}$，2）或P（1+$\sqrt{3}$，3）或P（1-$\sqrt{3}$，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，利用等腰三角形的定義是解題關(guān)鍵，不確定等腰三角形的腰是哪些線段時(shí)，要分類進(jìn)行討論．