Question

11．如圖所示，在正方形ABCD中，AD=6，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AE上的一點(diǎn)，MF⊥AE，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF交BC于點(diǎn)P．
（1）設(shè)∠AFM=α，求sinα的值；
（2）若PC=BP，設(shè)∠EFM=β，求cotβ的值．

Answer 1

分析 （1）只要證明∠AFM=∠DAE，在Rt△ADE中，求出tan∠DAE即可解決問(wèn)題．
（2）由△AFM∽△EAD，得$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AM}{DE}$=$\frac{FM}{AD}$，求出AM、FM、EM，根據(jù)cotβ=$\frac{FM}{ME}$，計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=6．∠D=∠BAD=90°，
∵DE=DC=3，
∴tan∠DAE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∵FM⊥AE，
∴∠AMF=90°，∠DAE+∠FAM=90°，∠FAM+∠AFM=90°，
∴∠AFM=∠DAE=α，
∴tanα=tan∠DAE=$\frac{1}{2}$．

（2）∵BF∥CE，
∴$\frac{BF}{CE}$=$\frac{BP}{PC}$=1，
∴BF=CE=3，
∴AF=9，
∵△AFM∽△EAD，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AM}{DE}$=$\frac{FM}{AD}$，
∴$\frac{9}{3\sqrt{5}}$=$\frac{AM}{3}$=$\frac{FM}{6}$，
∴AM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，F(xiàn)M=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$，EM=AE-AM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴cotβ=$\frac{FM}{ME}$=$\frac{\frac{18\sqrt{5}}{5}}{\frac{6\sqrt{5}}{5}}$=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考�？碱}型．