Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0）、C（0，5），點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，且∠ADB=60°，則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)的最小值是（　�。�

• A． 2$\sqrt{3}$-2
• B． 2$\sqrt{5}-2$
• C． 2$\sqrt{7}-2$
• D． 2$\sqrt{10}-2$

Answer 1

分析 作圓，求出半徑和PC的長(zhǎng)度，判出點(diǎn)D只有在CP上時(shí)CD最短，CD=CP-DP求解．

解答 解：作圓，使∠ADB=60°，設(shè)圓心為P，連結(jié)PA、PB、PC，PE⊥AB于E，如圖所示：
∵A（$\sqrt{3}$，0）、B（3$\sqrt{3}$，0），
∴E（2$\sqrt{3}$，0）
又∠ADB=60°，
∴∠APB=120°，
∴PE=1，PA=2PE=2，
∴P（2$\sqrt{3}$，1），
∵C（0，5），
∴PC=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+（5-1）^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
又∵PD=PA=2，
∴只有點(diǎn)D在線(xiàn)段PC上時(shí)，CD最短（點(diǎn)D在別的位置時(shí)構(gòu)成△CDP）
∴CD最小值為：2$\sqrt{7}$-2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，圓周角定理及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是判出點(diǎn)D只有在CP上時(shí)CD最短．