Question

9．如圖，已知正方形ABCD的對角線交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，連接BE、BF、DE、DF，則下列結(jié)論中一定成立的是①③④（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）
①BF=DE；②∠ABO=2∠ABE；③S_△AED=$\frac{1}{4}$S_△ACD；④四邊形BFDE是菱形．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定方法逐項分析即可．

解答 解：
∵點E、F分別是AO、CO的中點，
∴OE=OF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OD=OB，AC⊥BD，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴BF=DE，故選項①正確；
∵四邊形BEDF是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形BFDE是菱形，故選項④正確；
∵△AED的一邊AE是△ACD的邊AC的$\frac{1}{4}$，且此邊的高相等，
∴S_△ABD=$\frac{1}{4}$S_△ACD；故選項③正確，
∵AB＞BO，BE不垂直于AO，
∴BE不是∠ABO的角平分線，
∴∠ABO≠2∠ABE；故選項②沒有足夠的條件證明成立，
故答案為：①③④．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)以及菱形的判定方法，題目的綜合性較強，難度不大，熟記各種特殊的四邊形的判定方法和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．