Question

14．如圖所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC．
（1）若∠B=30°，∠C=70°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）△ABC中，若∠B=α，∠C=β（α＜β），請你根據(jù)（1）問的結(jié)果大膽猜想∠DAE與α，β間的等量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出∠BAC的度數(shù)；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，求出∠BAE、∠CAE的度數(shù)是多少；最后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，求出∠AED的度數(shù)，進(jìn)而求出∠DAE的度數(shù)是多少即可．
（2）根據(jù)（1）問的結(jié)果，猜想∠DAE與α，β間的等量關(guān)系為：∠DAE=$\frac{β-α}{2}$，然后根據(jù)（1）中求解的方法，證明猜想的正確性即可．

解答 解：（1）∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°-30°-70°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=80°÷2=40°，
∵∠AED=∠B+∠BAE=30°+40°=70°，
∴∠DAE=90°-70°=20°．

（2）根據(jù)（1）問的結(jié)果，猜想∠DAE與α，β間的等量關(guān)系為：∠DAE=$\frac{β-α}{2}$，
證明∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-α-β，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE=（180°-α-β）÷2=90°-$\frac{α+β}{2}$，
∵∠AED=∠B+∠BAE=α+（90°-$\frac{α+β}{2}$）=90°+$\frac{α-β}{2}$，
∴∠DAE=90°-（90°+$\frac{α-β}{2}$）=$\frac{β-α}{2}$．

點評 （1）此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°．
（2）此題還考查了三角形的外角的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．
（3）此題還考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：一個角的角平分線把這個角分成兩個大小相同的角．