Question

19．若等腰△ABC的一邊長為a=2，另外兩邊長b、c恰好是關于x的一元二次方程x²-（m+3）x+m+2=0的兩個根，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 分a=2為腰和a=2為底邊兩種情況分類討論即可確定三角形的周長，注意運用三邊關系進行驗證．

解答 解：若a=2為腰，則b、c中還有一腰，即2是方程x²-（m+3）x+m+2=0的一個根，
∴4-2（m+3）+m+2=0，
∴m=0，
這時方程為x²-3x+2=0，
其根為1、2，
∴△ABC的周長為2+2+1=5；
若a=2為底，則b=c，即方程x²-（m+3）x+m+2=0有兩個相等的實根，
∴△=0，
解得：m=-1，
這時方程為x²-2x+1=0，
∴x₁=x₂=1，
但1+1=2不能圍成三角形，
綜上可得：△ABC的周長為5．

點評 本題考查了解一元二次方程的應用：先把方程右邊變形為0，然后把方程左邊進行因式分解，這樣把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．也考查了解等腰三角形的性質．