Question

已知：O為直線AB上的一點(diǎn)，OC⊥OE于點(diǎn)O，射線OF平分∠AOE．
（1）如圖1，判斷∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，試問（1）中∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請你加以證明，若發(fā)生變化，請你說明理由；
（3）若將∠COE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，繼續(xù)探究∠COF和∠BOE之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：垂線,角平分線的定義

專題：

分析：（1）根據(jù)垂直定義可得∠COE=90°，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠BOE=90°-∠AOC，∠COF=

90°+∠AOC

2

-∠AOC=

90°-∠AOC

2

，進(jìn)而得到∠BOE=2∠COF；
（2）不發(fā)生變化，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EOF=2∠AOE，再根據(jù)角的和差關(guān)系可得∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF，進(jìn)而可得答案；
（3）首先表示出∠COF=90°+∠EOF，再表示∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF，進(jìn)而得到∠BOE+2∠COF=360°．

解答：解：（1）∵OC⊥OE，
∴∠COE=90°，
∴∠BOE=90°-∠AOC，∠COF=

90°+∠AOC

2

-∠AOC=

90°-∠AOC

2

．
∴∠BOE=2∠COF．

（2）不發(fā)生變化．證明如下：
∵射線OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°-∠EOF，∠BOE=180°-2∠EOF=2（90°-∠EOF）．
∴∠BOE=2∠COF．

（3）∠BOE+2∠COF=360°．
理由：∵射線OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF，
∵∠COE=90°，
∴∠COF=90°+∠EOF，
∴2∠COF=180°+2∠EOF
∠BOE=90°+∠BOC=90°+90°-2∠EOF=180°-2∠EOF．
∴∠BOE+2∠COF=360°．

點(diǎn)評：此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，以及角的計算，關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系．