Question

【閱讀材料】
    完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計數(shù)原理；完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計數(shù)原理．
【問題探究】
    完成沿圖1的街道從A點出發(fā)向B點行進(jìn)這件事（規(guī)定必須向北走，或向東走），會有多少種不同的走法？
（1）根據(jù)材料中的原理，從A點到M點的走法共有（1+1）=2種．從A點到C點的走法：
①從A點先到N點再到C點有1種；
②從A點先到M點再到C點有2種，所以共有（1+2）=3種走法．依次下去，請求出從A點出發(fā)到達(dá)其余交叉點的走法數(shù)，將數(shù)字填入圖2的空圓中，并回答從A點出發(fā)到B點的走法共有多少種？
（2）運(yùn)用適當(dāng)?shù)脑�理和方法，算出如果直接從C點出發(fā)到達(dá)B點，共有多少種走法？請仿照圖2畫圖說明．
【問題深入】
（3）在以上探究的問題中，現(xiàn)由于交叉點C道路施工，禁止通行，求從A點出發(fā)能順了到達(dá)BB點的走法數(shù)？說明你的理由．

Answer 1

考點：加法原理與乘法原理

專題：

分析：（1）根據(jù)完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，則到達(dá)A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和．從而計算出從A點到達(dá)其余各交叉點的走法數(shù)；
（2）仿照（1），畫出圖，使用分類加法計數(shù)原理，算出從C點到B點的走法為6種；
（3）此題有兩種計算方法：方法一是先求從A點到B點，并經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它；方法二是刪除與C點緊相連的線段，運(yùn)用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法．

解答：解：（1）∵完成從A點到B點必須向北走，或向東走，
∴到達(dá)A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和，
故使用分類加法計數(shù)原理，由此算出從A點到達(dá)其余各交叉點的走法數(shù)，填表如圖1．
答：從A點到B點的走法共有35種．


（2）如圖3，使用分類加法計數(shù)原理，算出從C點到B點的走法為6種；

（3）方法一：可先求從A點到B點，并經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它，即得從A點到B點，但不經(jīng)過交叉點C的走法數(shù)．
完成從A點出發(fā)經(jīng)C點到B點這件事可分兩步，先從A點到C點，再從C點到B點，
使用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到C點的走法是3種，見圖2；
見圖3，從C點到B點的走法為6種，
再運(yùn)用分步乘法計數(shù)原理，得到從A點經(jīng)C點到B點的走法有3×6=18種．
∴從A點到B點但不經(jīng)過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

方法二：如圖4：由于交叉點C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點緊相連的線段，運(yùn)用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法有17種．從A點到各交叉點的走法數(shù)，
∴從A點到B點并禁止經(jīng)過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

點評：此題考查了加法原理與乘法原理．此題難度較大，理解題意，能利用題意中的方法進(jìn)行計算是解此題的關(guān)鍵，注意利用畫圖的方法求解比較簡單．