Question

19．已知，如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB，D是AB的中點，DE⊥AB交AC于E，若∠BEC=∠C．
（1）若BE平分∠ABC，求∠A的度數(shù)；
（2）若△ABC的周長為10，△BCE的周長為6，求BC的長度．

Answer 1

分析 （1）設(shè)∠A的度數(shù)為x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)用x表示出∠ABC和∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出算式求出x的值即可；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形周長公式計算即可．

解答 解：（1）設(shè)∠A的度數(shù)為x，
∵D是AB的中點，DE⊥AB，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=x，
∵∠BEC=∠ABE+∠A=2x，
∴∠C=2x，
∴x+2x+2x=180°，
∴∠A=x=36°；
（2）∵△ABC的周長為10，
∴AB+AC+BC=10，
∵△BCE的周長為6，
∴BE+EC+BC=6，即AC+BC=6，
∴AB=4，
則BC=2．

點評 本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．