Question

19．如圖，樓房與斜坡AB之間有一條小河，在摟房上的點(diǎn)D處測得斜坡的坡腳A點(diǎn)的俯角為45°，測得斜坡的頂端B點(diǎn)的俯角為30°，若觀測點(diǎn)D距地面的高度CD=30米，斜坡的坡角為30°，試求斜坡AB的長（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E、作BF⊥CA于點(diǎn)F，設(shè)BF=x米，在RT△ABF中表示出AB、AF的長，在RT△ACD中求出AC的長，進(jìn)而可得BE、DE的長，在RT△BDE中由tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$列出關(guān)于x的方程，解方程可得x的值即可．

解答 解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，作BF⊥CA于點(diǎn)F，
則四邊形CEBF是矩形，

設(shè)BF=x米，
∵∠BAF=30°，
∴AB=2BF=2x米，AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=$\sqrt{3}x$米，
又∵CD=30米，∠CAD=45°，
∴AC=CD=30米，
∵四邊形CEBF是矩形，
∴BE=CF=CA+AF=30+$\sqrt{3}$x（米），BF=CE=x，DE=30-x（米），
在RT△BDE中，∵∠DBE=30°，
∴tan∠DBE=$\frac{DE}{BE}$，即$\frac{30-x}{30+\sqrt{3}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x=15-5$\sqrt{3}$，
則AB=2x=30-10$\sqrt{3}$（米），
答：斜坡AB的長為（30-10$\sqrt{3}$）米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了仰角、坡角的定義，解直角三角形的應(yīng)用，能借助仰角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形是解題的關(guān)鍵．