Question

20．如圖，在菱形ABCD中，AB=4，∠DAB=60°，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點（不與點A重合），延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN．
（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形；
（2）當AM的值為2時，四邊形AMDN是矩形，請你把猜想出的AM值作為已知條件，說明四邊形AMDN是矩形的理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠NDE=∠MAE，根據(jù)對頂角相等可得∠DEN=∠AEM，根據(jù)中點的定義求出DE=AE，然后利用“角邊角”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到ND=AM，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；
（2）首先證明△AEM是等邊三角形，進而得到AE=ED=EM，利用三角形一邊上的中線等于斜邊一半判斷出△AMD是直角三角形，進而得出四邊形AMDN是矩形．

解答 解：（1）∵點E是AD邊的中點，
∴AE=ED，
∵AB∥CD，
∴∠NDE=∠MAE，
在△NDE和△MAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠NDE=∠MAE}\\{DE=AE}\\{∠NED=∠MEA}\end{array}\right.$，
∴△NDE≌△MAE（ASA），
∴ND=AM，
∵ND∥AM，
∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）當AM=2時，說明四邊形是矩形．
∵E是AD的中點，
∴AE=2，
∵AE=AM，∠EAM=60°，
∴△AME是等邊三角形，
∴AE=EM，
∴AE=ED=EM，
∴∠AMD=90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
故當AM=2時，四邊形AMDN是矩形．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出三角形全等是解題的關(guān)鍵，也是本題的突破口．