Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一個三等分點，D是$\widehat{AC}$的中點，P是直徑AB上一點，⊙O是半徑為1，則PC+PD的最小值是$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 作D關(guān)于AB的對稱點E，連接CE交AB于點P′，連接OC，OE，則DP+CP最小，根據(jù)解直角三角形求出CE，根據(jù)軸對稱求出DP′+CP′=CE即可．

解答 解：作D關(guān)于AB的對稱點E，連接CE交AB于點P′，連接OC，OE，
則根據(jù)垂徑定理得：E在⊙O上，連接EC交AB于P′，則若P在P′時，DP+CP最小，
∵C是半圓上的一個三等分點，
∴∠AOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∵D是$\widehat{AC}$的中點，
∴∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠COE=90°，
∴CE=$\sqrt{2}$OC=$\sqrt{2}$，
即DP+CP=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，軸對稱的性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計算能力．