Question

16．在一張直角三角形紙片的兩直角邊上各取一點，分別沿斜邊中點與這兩點的連線剪去兩個角形，剩下的部分是如圖所示的直角梯形，其中三邊長分別為2、4、3，則能剛好完全覆蓋原直角三角形紙片的圓形紙片的半徑可能是2$\sqrt{5}$或5．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分兩種情況討論，求出每種情況下直角三角形的斜邊的長度各是多少；然后用斜邊的長度除以2，求出直角三角形的外接圓的半徑是多少，即可求出能剛好完全覆蓋原直角三角形紙片的圓形紙片的半徑可能是多少．

解答 解：（1）如圖1，，
當D、E分別是斜邊AC、直角邊AB的中點時，
∵D、E分別是斜邊AC、直角邊AB的中點，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2×2=4，AE=BE=4，AB=4+4=8，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}{+8}^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴直角三角形ABC的外接圓的半徑是：
4$\sqrt{5}÷2=2\sqrt{5}$，
即能剛好完全覆蓋原直角三角形紙片的圓形紙片的半徑是2$\sqrt{5}$．

（2）如圖2，，
當D、E分別是斜邊AC、直角邊AB的中點時，
∵D、E分別是斜邊AC、直角邊AB的中點，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴BC=3×2=6，AE=BE=4，AB=4+4=8，
∴AC=$\sqrt{{6}^{2}{+8}^{2}}=10$，
∴直角三角形ABC的外接圓的半徑是：
10÷2=5，
即能剛好完全覆蓋原直角三角形紙片的圓形紙片的半徑是5．
綜上，可得
能剛好完全覆蓋原直角三角形紙片的圓形紙片的半徑可能是2$\sqrt{5}$或5．
故答案為：2$\sqrt{5}$或5．

點評 （1）此題主要考查了圖形的剪拼問題，考查了分類討論思想的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是求出原來直角三角形紙片的斜邊的長度是多少．
（2）此題還考查了直角三角形的外接圓的半徑的求法，要熟練掌握．