Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長(zhǎng)不等的正方形依次排列，每個(gè)正方形都有一個(gè)頂點(diǎn)落在函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象上，從左向右第3個(gè)正方形中的一個(gè)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（27，9），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S₁、S₂、S₃、…、S_n，則第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是$\frac{27}{2}$，S₃的值為$\frac{{3}^{8}}{{2}^{5}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線(xiàn)解析式判斷出直線(xiàn)與x軸的夾角的正切值為$\frac{1}{2}$，從而得到直線(xiàn)與正方形的邊圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)求出正方形的邊長(zhǎng)并得到變化規(guī)律表示出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果得出規(guī)律，利用規(guī)律解答即可．

解答 解：如圖，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形DEFG的邊長(zhǎng)為B，
∴S_△ACF=S_△ACD+S_梯形ADEF-S_△CEF
=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{1}{2}$（a+b）×b-$\frac{1}{2}$（a+b）×b=$\frac{1}{2}$a²
∵正比例函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x的圖象與x軸交角的正切值為$\frac{1}{2}$，已知A的坐標(biāo)為（27，9），
∴第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是$\frac{27}{2}$=9×$\frac{3}{2}$，
同理可得第五個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為$\frac{81}{4}$=9×（$\frac{3}{2}$）²，
第六個(gè)正方形的邊長(zhǎng)$\frac{243}{8}$=9×（$\frac{3}{2}$）³，
根據(jù)上面的規(guī)律，S₃=$\frac{1}{2}$[9×（$\frac{3}{2}$）²]²=$\frac{{3}^{8}}{{2}^{5}}$
故答案為：$\frac{27}{2}$，$\frac{{3}^{8}}{{2}^{5}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解本題的關(guān)鍵是確定陰影部分面積等于一個(gè)等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個(gè)直角三角形的面積．