Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=

1

3

x²+bx+c與y軸相交于C點(diǎn)，過C點(diǎn)作CB∥x軸交拋物線于B點(diǎn)，過B點(diǎn)作BA⊥x軸，垂足為A，連接BO，B點(diǎn)坐標(biāo)為（4

3

，4）
（1）求拋物線的解析式；
（2）P點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作PQ∥OB交拋物線于Q，設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)△PBQ為等腰三角形時(shí)，求t的值；
（3）在（2）條件下，延長BQ交BQ交x軸于E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)在線段OC上，連接EF，過O點(diǎn)作OG⊥EF，垂足為G，連接CG，設(shè)F點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，當(dāng)線段CG最短時(shí)，求m的值，并判斷G點(diǎn)是否在（1）中的拋物線上．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)B的坐標(biāo)可求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；
（2）根據(jù)tan∠ABO=

OA

AB

=

3

求得∠ABO=60°，由PQ∥OB，PB=PQ得出∠PBQ=∠PQB=∠OBQ=30°，根據(jù)直角三角函數(shù)求得PH=t，QH=

3

t，進(jìn)而求得QK=4-3t，OK=4

3

-

3

t，得出Q（4

3

-

3

t，4-3t），代入拋物線的解析式即可求得．
（3）先通過解直角三角形求得OE的長，得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镃G+GM≥CM，所以當(dāng)G在CM上時(shí)CG最短，然后根據(jù)

OM

OC

=

NG

CN

=

3

3

，設(shè)GN=

3

k，得出G（

3

k，4-3k），分別表示出MR、RG、MG的長，最后根據(jù)勾股定理即可求得；

解答：解：（1）如圖1，在四邊形ABCO中，
∵BA⊥x軸，
∴∠BAO=90°，
∵BC∥x軸，
∴∠ABC=∠BAO=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴AB=OC=4，BC=OA=4

3

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），
依題意可得：

4= 1 3 (4 3 )2+b×4 3 +c 4= 1 3 (0)2+b×0+c

 
解得

b=- 4 3 3 c=4

∴所求拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

4 3

3

x+4；

（2）如圖1，過Q作x軸垂線，垂足為K，QH⊥AB，垂足為H．
在RT△ABO中，tan∠ABO=

OA

AB

=

3

=tan60°，
∴∠ABO=60°，
∵PQ∥OB，
∴∠QPA=∠ABO=60°
∴∠QPB=180°-60°=120°，
∵PB=PQ=2t，
∴∠PBQ=∠PQB=

180°-120°

2

=30°，
∵∠BHQ=90°，
∴PH=t，QH=

3

t，
延長HQ交y軸于點(diǎn)S，
∵∠HAO=∠AHS=∠AOS=90°，
∴四邊形AHSO是矩形，
∴QK=OS=AH=4-BH=4-3t，OK=OA-AK=4

3

-HQ=4

3

-

3

t
∴Q（4

3

-

3

t，4-3t）
代入拋物線解析式4-3t=

1

3

（4

3

-

3

t）²-

4 3

3

（4

3

-

3

t）+4；
解得t₁=1，t₂=0（舍去），

（3）如圖2，在△ABE中，
∵∠BAE=90°，∠ABE=30°，
∴tan∠ABE=tan30°=

AE

AB

，
∴

AE

4

=

3

3

，
∴AE=

4 3

3

，
∵OE=OA-AE，
∴OE=

8 3

3

，
∴E（

8 3

3

，0），
取OE的中點(diǎn)M，連接MG、CM，
則MG=

1

2

OE=

4 3

3

，CM=

8 3

3

，
∵CG+GM≥CM，
∴當(dāng)G在CM上時(shí)AE，CG最短
作GN⊥y軸，GR⊥x軸，

OM

OC

=

NG

CN

=

3

3

，
設(shè)GN=

3

k，
則CN=3k，RG=ON=4-3k，
∴G（

3

k，4-3k），MR=

4 3

3

-

3

k，
由勾股定理得，MR²+RG²=MG²，
即（

4 3

3

-

3

k）²+（4-3k）²=（

4 3

3

）²，
解得k₁=

2

3

，k₂=2（舍去）
G（

2 3

3

，2），m=

8

3

，G點(diǎn)不在拋物線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)三角函數(shù)解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)以及平行線分線段定理，勾股定理的應(yīng)用．