Question

5．如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其它兩邊AC，BC的交點分別為D，E．且$\widehat{DE}$=$\widehat{BE}$．
（1）求證：AB=AC；
（2）若AB=10，BC=12，求cos∠ABD的值．

Answer 1

分析 （1）先連結(jié)AE，根據(jù)ASA判定△AEB≌△AEC，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AB=AC；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理，求得AE和BE的長，再根據(jù)面積法求得BD的長，最后計算cos∠ABD的值．

解答 （1）方法一：連結(jié)AE，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
∵$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴∠BAE=∠CAE，
又AE=AE，
∴△AEB≌△AEC（ASA），
∴AB=AC；
方法二：∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°，
∵$\widehat{DE}=\widehat{BE}$，
∴DE=BE，
∴∠CBD=∠BDE，
∴∠C=∠CDE，
∵ABED是圓內(nèi)接四邊形，
∴∠CDE=∠CBA，
∴∠C=∠CBA，
∴AB=AC；

（2）由（1）知△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×12=6，
∵在Rt△ABE中，AB=10，BE=6，
∴AE=$\sqrt{{{10}^2}-{6^2}}$=8，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴$\frac{1}{2}AE•BC=\frac{1}{2}BD•AC$，
∴$BD=\frac{8×12}{10}=\frac{48}{5}$，
∴$cos∠ABD=\frac{BD}{AB}=\frac{{\frac{48}{5}}}{10}=\frac{24}{25}$．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理以及勾股定理的綜合應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．解題時注意面積法的運用．