Question

20．如圖中矩形ABCD的四個頂點位于雙曲線y=$\frac{1}{x}$上，且S_ABCD=2$\sqrt{5}$，則x_A=（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 設A（x，$\frac{1}{x}$），根據(jù)題意C（-x，-$\frac{1}{x}$），D（$\frac{1}{x}$，x），根據(jù)矩形的面積公式得到AD•CD=2$\sqrt{5}$，進而得到$\sqrt{（{x-\frac{1}{x}）}^{2}+（\frac{1}{x}-x）^{2}}$•$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}+（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，解得x²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$，求得x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，即可求得x_A．

解答 解：設A（x，$\frac{1}{x}$），
根據(jù)題意C（-x，-$\frac{1}{x}$），D（$\frac{1}{x}$，x），
∵S_矩形ABCD=2$\sqrt{5}$，
∴AD•CD=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（{x-\frac{1}{x}）}^{2}+（\frac{1}{x}-x）^{2}}$•$\sqrt{（x+\frac{1}{x}）^{2}+（x+\frac{1}{x}）^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{x}$）•$\sqrt{2}$（x+$\frac{1}{x}$）=2$\sqrt{5}$，
解得：x²=$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$或x²=$\frac{\sqrt{5}-3}{2}$（不合題意舍去），
∴x₁=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，x₂=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
∵點A在第一象限，
∴x_A=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選A．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的交點關于原點對稱；反比例函數(shù)的比例系數(shù)等于在它上面的點的橫縱坐標的積，三角形面積公式以及點到直線的距離公式等知識點．