Question

如圖，P是正方形對角線上一點，PE⊥BC，PF⊥DC，求證：
（1）AP=EF；
（2）AP⊥EF．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）延長FP交AB于點G，通過SAS證明△AGP≌△FPE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）延長AP交EF于H．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠GPG=∠FEP，再根據(jù)等量關(guān)系可得∠PHE=90°，從而證明結(jié)論．

解答：證明：（1）延長FP交AB于點G，則PG⊥AB，四邊形BEPG是矩形．
∵點P是正方形ABCD的對角線上一點，
∴∠PBG=∠PBE=45°，∠GAE=90°，BC=AB，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴PG=BG=PE，
∴四邊形BEPG為正方形，
∴∠GPE=90°，
∴AG=FP．
在△AGP與△FPE中，

AG=FP ∠AGP=∠FPE GP=PE

，
∴△AGP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF；
（2）延ADP交EF于H．
由（1）知△AGP≌△FPE，
∴∠APG=∠FEP，
∵∠APG+∠EPH=180°-∠GPE=90°，
∴∠FEP+∠EPH=90°，
∴∠PHE=90°，即PD⊥EF．

點評：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，本題關(guān)鍵是證明△AGP≌△FPE．