Question

2．在一個(gè)平面河岸l同側(cè)有A、B兩個(gè)村莊，A、B到l的距離分別為3km和2km，AB=xkm（x＞1），現(xiàn)計(jì)劃在河岸l上建抽水站P，用輸水管道向兩個(gè)村莊供水．
方案設(shè)計(jì)：
方案一：設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為y₁，且y₁=PB+BA，其中PB⊥l于點(diǎn)P；
方案二：設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為y₂，且y₂=PA+PB，其中點(diǎn)A′于點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱，A′B與l交于點(diǎn)P．
就x的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)如何選擇這兩種方案？

Answer 1

分析 方案一：PB⊥l于點(diǎn)P，y₁=PB+BA，代入即可得到結(jié)論；
方案二：如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱A′，連接A′B與l交于點(diǎn)P，過B作 BC⊥AA′于C，根據(jù)勾股定理得到BC²=x²-1，求得A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，于是得到y(tǒng)₂=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
分類進(jìn)行討論當(dāng)y₁＞y₂，y₁=y₂，y₁＜y₂時(shí)就可以分別求出x的范圍，從而確定選擇方案．

解答 解：方案一：∵PB⊥l于點(diǎn)P，y₁=PB+BA，
∴y₁=（2+x）km；
方案二：如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于l對(duì)稱A′，連接A′B與l交于點(diǎn)P，
過B作 BC⊥AA′于C，
則AC=1，AB=x，A′C=5，
∴BC²=x²-1，
∴A′B=$\sqrt{B{C}^{2}+A′{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+24}$，
∴y₂=PA+PB=PA′+PB=$\sqrt{{x}^{2}+24}$；
∵y₁²-y₂²=（x+2）²-（$\sqrt{{x}^{2}+24}$）²=4x-20，
∴①當(dāng)4x-20＞0，即x＞5時(shí)，y₁＞y₂；
∴選擇方案二鋪設(shè)管道較短．
②當(dāng)4x-20=0，x=5時(shí)，y₁=y₂；
∴選擇方案一、二鋪設(shè)管道一樣長(zhǎng)；
③當(dāng)4x-20＜0，即x＜5時(shí)，y₁＜y₂．
∴選擇方案一鋪設(shè)管道較短．
綜上可知：當(dāng)x＞5時(shí)，選方案二；
當(dāng)x=5時(shí)，選方案一或方案二；
當(dāng)1＜x＜5 時(shí)，選方案一．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)的運(yùn)用，最短路線問題數(shù)學(xué)模式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，數(shù)的大小的比較方法的運(yùn)用．