Question

7．如圖，點C在以AB為直徑的⊙O上，AC=4，BC=3，P為直徑AB上一動點，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．
（1）求證：∠ACB=90°；
（2）當點P在直徑AB上運動的過程中，試探究線段EF長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角進行解答；
（2）作CH⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式求出CH的長，根據(jù)矩形的判定和性質(zhì)求出線段EF長度的最小值．

解答 （1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
（2）作CH⊥AB于H，
∵PE⊥AC于E，PF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四邊形PECF為矩形，
∴EF=CP，
在直角△ABC中，AC=4，BC=3，
由勾股定理得，AB=5，
∵$\frac{1}{2}$×AC×BC=$\frac{1}{2}$×AB×CH，
∴CH=$\frac{12}{5}$，
∴CP的最小值為：$\frac{12}{5}$，
即EF長度的最小值為$\frac{12}{5}$．

點評 本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用好矩形的判定和性質(zhì)，掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關(guān)鍵．