Question

7．如圖，AB∥CD，∠A=∠D=60°，AC與BD交于點E，連接BC，其中點M，N，K 分別是AE，BC，DE邊上的中點．求證：NK=MN．

Answer 1

分析 取BE的中點E，CE的中點F，連結MG、NG、NF、KF，如圖，先判斷△ABE和△CDE都是等邊三角形得到AB=BE，CD=CE，再根據(jù)三角形中位線性質得到MG=$\frac{1}{2}$AB，MG∥AB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)N∥BE，NG=$\frac{1}{2}$CE，NG∥CE，KF=$\frac{1}{2}$CD，KF∥CD，則MG=NF，NG=KF，根據(jù)平行線的性質得∠NGE=∠GEM=∠EFN，易得∠MGN=∠NFK，則根據(jù)“SAS”可判斷△GMN≌△FNK，所以MN=NK．

解答 證明：取BE的中點E，CE的中點F，連結MG、NG、NF、KF，如圖，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠ACD=60°，∠ABD=∠D=60°，
∴△ABE和△CDE都是等邊三角形，
∴AB=BE，CD=CE，
∵點M，N，K、G，F(xiàn)分別是AE，BC，DE，BE，CE邊上的中點，
∴MG=$\frac{1}{2}$AB，MG∥AB，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$BE，F(xiàn)N∥BE，NG=$\frac{1}{2}$CE，NG∥CE，KF=$\frac{1}{2}$CD，KF∥CD，
∴MG=NF，NG=KF，∠NGE=∠GEM=∠EFN，
而∠EGM=∠ABE=60°，∠EFK=∠ECD=60°，
∴∠MGN=∠NFK，
在△GMN和△FNK中，
$\left\{\begin{array}{l}{MG=FN}\\{∠MGN=∠NFK}\\{GN=FK}\end{array}\right.$，
∴△GMN≌△FNK，
∴MN=NK．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸�條件．也考查了等邊三角形的判定與性質．構建三角形中位線和運用三角形中位線性質是解決此題的關鍵．