Question

2．如圖，已知△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，AB=10，點P是AC邊上一動點，由點A向點C運動（點P與點A、C不重合），Q是CB延長線上一點，與 點P同時以相同的速度由點B向CB延長線方向運動（點Q與點B不重合），過點P作PE⊥AB于點E，連結PQ交AB于點D．
（1）當∠BQD=30°時，求AP的長．
（2）在運動過程中，線段ED的長是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長；如果變化，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先得出△ABC是邊長為10的等邊三角形，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設AP=x，則PC=10-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=$\frac{1}{2}$QC，即10-x=$\frac{1}{2}$（10+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，由點P、Q做勻速運動且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四邊形PEQF是平行四邊形，進而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=$\frac{1}{2}$AB，由等邊△ABC的邊長為10可得出DE=5，故當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰三角形，且∠C=60°，
∴△ABC是邊長為10的等邊三角形，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
設AP=x，則PC=10-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=10+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=$\frac{1}{2}$QC，即10-x=$\frac{1}{2}$（10+x），
解得：x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=$\frac{10}{3}$；

（2）當點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．理由如下：
作QF⊥AB，交直線AB于點F，連接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵點P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∵∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
在△APE和△BQF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEP=∠BFQ}\\{∠A=∠FBQ}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四邊形PEQF是平行四邊形，
∴DE=$\frac{1}{2}$EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB，
又∵等邊△ABC的邊長為10，
∴DE=5，
∴點P、Q同時運動且速度相同時，線段DE的長度不會改變．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，根據(jù)題意作出輔助線構造出全等三角形是解答此題的關鍵．